In this post, my lecture note for Linear Albebra 1, 2 and final exam problems are provided.

Lecture Notes

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This lecture note is includes chapter 1 ~ 6 of *Linear Algebra_Friedberg_5th edition*.

This lecture note would be kept updated until it fully covers the book (~ chap 7).

Final

Below is the final exam for Linear Algebra 2 class which covers chapter 7.

1. $R^n$ 에서 n * n 행렬 A에 대해 linear operator LA 를 생각하자. 이때, LA는 orthogonal operator이다.
   • (10 pts) V안에 1<= W <= 2인 T-invariant subspace W가 존재함을 보이시오. (hint : A의 모든 eigenvector 생각)
   • (5 pts) V = W1 + W2 + … Wk의 direct sum으로 나타낼 수 있는 T-invariant subspace W1 … 이 존재하며 1<=dim Wi <= 2이다. (Thm 6.47)
2. 3 by 3 행렬에 대해 JCF를 구하고 J=Q^-1 A Q 인 Q를 구하시오.
3. (20 pts)
   • Division Algorithm Theorem을 서술하시오.
   • minimal polynomial의 정의를 서술하시오.
   • minimal polynomial이 unique함과 minimal polynomial이 f(T)=0을 만족하는 다항식 f(t)를 divide함을 증명하시오.
4. 특성다항식이 (람다 - t)^5 꼴인 T에 대해 가능한 JCF 꼴을 모두 구하시오.
5. 4 by 4 행렬에 대해 J=Q^-1 A Q 인 Q를 구하시오.
6. 다음을 증명하시오.
   • (10 pts) Chapter 7.4의 Step6 에서 기본 케이스
   • (5 pts) Step 7?, Thm 7.22?